[Mécanique] Probas de jets de dés

En parallèle de mon proto en cours j’ai un 2e projet sous le palto pour lequel j’ai besoin d’avoir des probas de résultats de dés. Or je suis une quiche en probas. L’un d’entre vous est-il un expert sur le sujet ?

Il s’agit de probas à base de combinaisons de symboles sur les faces de dés, par exemple avec 4 dés la proba d’avoir les symboles A+B+C ou A+A+A etc

Sur 4 D6 où tes symboles vont de A à F?

Alors sans hésitation je tente une invocation de @fabrice-rossi … moi je pourrais te le retrouver mais ça va me prendre une plombe, lui je suis sur qu’il va nous donner ça aussi vite que 1+1 :slight_smile:

En fait je veux la proba d’obtenir X symboles en lançant X dés.

Ci-dessous en colonne le nb de dés à lancer. En ligne la proba des symboles qu’il faut obtenir, j’ai listé toutes les combinaisons possibles. La proba avec un seul dé je l’ai, le reste je sèche.

Sur mon dé j’ai 3 faces A, une face B et deux faces échecs. Je veux bien les formules mathématiques car j’aurai 3 dés différents au total. Je sais pas si je suis clair…

J’essaie de te faire les calculs demain, mais j’ai besoin d’un éclaircissement. Dans ta première ligne A que veux tu comme tirage pour par exemple deux dés ? Est ce que tu veux dire obtenir exactement un A, zero B et le reste d’échecs (donc 1 ici) ou obtenir au moins un A ? Pareil pour le reste. Je suppose que c’est au moins un A, mais bon… Par exemple ici pour 2 dés, si c’est au moins un A, on calcule en fait la probabilité de n’avoir aucun A (c’est plus simple) qui est ici de 1/2x1/2, ce qui fait 1/4, puis on fait 1-1/4, le 0.75 que tu as trouvé. Je pense donc que mon hypothèse est bonne, mais tant qu’à faire que de me taper les calculs autant qu’ils soient justes :wink:

Il s’agit en effet d’obtenir au moins la combinaison de symboles à chaque fois.

La 1e ligne est d’obtenir au moins un A avec 1 dé, 2 dés… jusque 7 dés (celle là j’ai la formule)

La 2e d’obtenir au moins deux A avec 1 dé (ce qui n’est pas simple^^), 2 dés etc

Et la dernière ligne d’avoir au moins un A et deux B.

Je te redonne les valeurs du dé : 3 faces A, 1 face B et 2 faces échec

Un grand merci !

 

Si je note d le nombre de dés et a^d le nombre a à la puissance d (a x a x … d fois), on obtient

  • pour AA : 1-(d+1)x(1/2^d) soit 0 0.250000 0.500000 0.687500 0.812500 0.890625 0.937500
  • pour BB : 1-5/6^d-dx1/6x(5/6^(d-1)) (avec d>=2, bien sûr), ce qui donne 0 0.02777778 0.07407 0.1319444 0.1962449 0.2632245 0.330204
  • pour AAA : 1-(d+1)x(1/2^d)-dx(d-1)x(1/2^d)/2, soit 0 0 0.1250000 0.3125000 0.5000000 0.6562500 0.7734375
  • pour BBB : 1-5/6^d-dx1/6x(5/6^(d-1))-dx(d-1)/2x1/6^2x(5/6^(d-2)), soit 0 0 0.0046296296 0.016203703703 0.0354938271 0.06228566529 0.095775462962
  • pour AB : 1+1/3^d-1/2^d-5/6^d, soit 0 0.16666666 0.33333333333 0.46759259259 0.57098765432 0.650848765432 0.71356310013
  • pour AAB : 1-(d+1)x(1/2^d)-5/6^d+d/2x(1/3^(d-1))+1/3^d, soit 0 0 0.124999999 0.291666666 0.4456018518 0.569444444 0.66367669753
  • pour ABB : 1-5/6^d-dx1/6x(5/6^(d-1))-1/2^d+d/6x(1/3^(d-1))+1/3^d, soit 0 0 0.04166666666 0.10648148148 0.17939814814 0.25308641975 0.32444915980
Attention, j'ai écrit par exemple 5/6^d, ça veut bien sûr dire qu'on met 5/6 à la puissance d, pas qu'on divise 5 par 6^d. Si tu changes les probas de A, B et E sur chaque dé, tu peux réutiliser les formules, mais il y a une simplification implicite pour le cas de A qui est du au fait que sa proba est de 1/2 (et donc ne pas l'obtenir a aussi une proba de 1/2).

N’hésite pas si tu as des questions.

Un immense merci à toi !!

En rentrant tes formules sous excel j’ai bien retrouvé tes résultats. Je devrais pouvoir compléter mes 2 autres dés qui ont des probas différentes, je te demanderai surement d’en vérifier 2-3 pour voir si je me suis pas planté. Et j’aurais aussi besoin de toi je pense car dans certains cas j’ai besoin de savoir les probas pour 3 symboles différents. Bref je te dis quand j’ai pu terminer ! Merci encore

De rien, c’est mon boulot : je suis prof de maths à l’université, spécialisé en stats :wink: Ça me donne des idées d’exercices, d’ailleurs. N’hésite pas (et c’est valable pour tout le monde).

Je suis bien tombé alors ! Et si je peux aider la science en bonus alors je ne vais pas me priver ^^

En PJ je t’ai mis ma feuille excel avec les formules manquantes. Le dé jaune est rempli et j’ai rempli qq lignes du dé bleu et rouge selon tes formules. Pour le reste je ne suis pas certain donc je préfère demander ton aide.

Tu as les faces des dés indiqués en haut du doc avec l’apparition d’un 3e symbole dont la particularité est précisé dans le doc. Si pas clair dis moi.

 

Hé, hé :slight_smile: Je regarde ça d’ici la fin de la semaine, ça sera ton cadeau de noël. Si tu vois que ça traîne, envoie moi un mp.

Je me rends compte que je ne t’ai pas répondu, désolé :-(. Je suis en train de regarder le tableau et il y a un truc qui me chagrine : si C est un joker, pourquoi cherches tu à calculer la proba d’obtenir au moins un C ? Ou pour poser la question autrement, pourquoi cherches tu à calculer la proba d’obtenir au moins un B (par exemple), en tenant compte du joker ? Je vois très bien le calcul à faire, mais je ne suis pas certain de ce que tu vas en faire. Pour être encore plus précis, il y a un problème d’interprétation : par exemple que veux tu dire par obtenir ABC ? Dans cette situation est-ce qu’on garde un C comme sa valeur et qu’on autorise d’autres C à représenter des A et des B ?

Pas de problème, on a tous une vie à côté !

Le truc est que la valeur C est à la fois une valeur pure, mais aussi un joker pour A ou B.

Dans certains cas tu devras obtenir un C pur.

Et dans le cas où tu dois avoir un A, tu peux en effet l’obtenir avec un A ou un C.

Pour ABC il s’agit donc d’obtenir les 3 symboles. Après si tu tires 3xC par ex c’est bon puisque un C va remplacer le A, l’autre le B et dernier restera pour sa valeur C.

Tout ça pour arrêter de payer des coups au 4-21…

J’aurais, du coup, moi aussi une question en rapport avec un proto.

J’ai 6 dés de 6 faces, avec 2 réussites, 1 échec et le reste compte pour du beurre.

Y a t-il une formule simple pour connaitre le % de chances de ne faire aucune réussite, aucun échec et que des échecs ou réussites?

Pareil pour 4 dés et 5 dés.

J’ai beau chercher je trouve rien… merci de m’aider les cwowdiens!

Invocation @fabrice-rossi :’) (flemme de calculer de bon matin, je l’avoue xD)

Matérialisation numérique !

Donc en tant que mathématicien arrogant sur de lui je me suis toujours dit que tout ça était super trivial et qu’il « suffisait » de faire le calcul. En théorie, c’est vrai (ba oui, quand même). En pratique, je me suis fadé les calculs pour Conan et c’est très chiant. Très très chiant. Parce que justement, il n’y a pas de formule utile. Il y a des formules simples (qui font intervenir la notion de convolution), mais elles cachent par un gentil symbole des calculs chiants. Pour Conan, j’ai écrit un programme par ce que je voulais bien contrôler le truc (et parce que c’est utile pour mon boulot, histoire de faire des exercices pour mes élèves :mrgreen: ). Mais il en existe un qui fait ça très bien : AnyDice.

Dans ton exemple, si tu utilises la commande

output 6d{-1,1,1,0,0,0}

ça va te calculer la probabilité de chaque valeur qu’on peut obtenir en faisant la somme de 6 dés (6d) dont les faces sont celles indiquées. Si on considère les succès comme des 1 et les échecs comme des -1, on voit qu’obtenir -6 correspond à 6 échecs et 6 à 6 réussites, avec des probas respectives de 0 (c’est-à-dire moins de 0.00%) et de 0.14% (attention, c’est bien 0.14% soit 0.0014). Pour calculer les autres probabilités, il faut apprendre à programmer anydice (c’est un peu casse c… car la doc n’est pas super cohérente), mais ça se fait :slight_smile:

Du point de vue formel, ton cas est quand même un peu plus simple que celui de Conan (relance et somme) ou que le cas d’une somme. Et on a donc des formules ! (ouai, je suis un vrai matheux, il faut que je fasse ma frime en parlant d’abord des cas compliqués.) Si on lance n dés avec une probabilité de 1/6 d’avoir un échec, la probabilité de ne faire que des échecs est (1/6)^n (le ^ est pour la puissance). Donc (1/6)^6 ce qui donne 1/46656=0.000021. Pareil pour que des succès, c’est (1/3)^n (2 succès, donc 2/6=1/3 pour la proba de succès). Donc ici 1/729=0.00137. Dans l’autre sens, c’est facile aussi. Aucun échec = (5/6)^n, soit donc 15625/46656=0.335. Plus généralement, obtenir exactement k succès, par exemple, c’est C_n^k p^k (1-p)^(n-k) où p est la probabilité d’un succès sur 1 dé, n le nombre de dés, et k le nombre de succès. C_n^k c’est le coefficient binomial. Donc par exemple, si tu veux exactement 2 succès pour 6 dés avec une probabilité de 1/3 de succès (sur un dé), ça te fait C_6^2 (1/3)^2 (2/3)^4, soit environ 0.33.

Ho putin le post de bon matin… Faut s’accrocher :smiley:

Comme toutes les invocations, la mienne est dangereuse :twisted:

Merci infiniment fabrice. J’ai compris en substance mais ta formule et le résultat sur Anydice sont assez éloquents.

Pour aller plus loin, même si c’est implicite dans les résultats sans doute, quels probabilités de faire plus de succès que d’échecs (en gros de sortir plus de 5 et 6, que de 1) sur 4D6, 5D6 et 6D6?

 

par contre ce que je pige pas: ça voudrait dire qu’en lançant 6D6 je n’ai absolument aucun chance de n’obtenir que des 1? gné ? ou j’ai rien compris (option possible)